变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

第一种思路：

f(1) = 1;
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)
说明：
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)
6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
可以得出：
f(n) = 2*f(n-1)
7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

| -1       ,(n=0 ) 

f(n) = | 1 ,(n=1 )

| 2*f(n-1),(n>=2)

第二种思路

n个台阶最多有n-1个分段，每个分段有两种可能，也就是跳或者不跳，那么这样算下来就有有2的n-1次方个可能性。这种理解比较简单。

代码实现

第一种思路：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(JumpFloorII(3));
    }
    //
    public static int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return -1;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

第二种思路：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(JumpFloorII(3));
    }
    //这种方法我是真的想不出来
    public static int JumpFloorII(int target) {
       return (int)Math.pow(2, target-1);
    }
}

还有一种计算2次方的方法，就是利用java 移位

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(JumpFloorII(3));
    }
    //
    public static int JumpFloorII(int target) {
       return 1<<(target-1);//牛客上面的大哥是真的牛逼，我是真的没有想到这些东西，太厉害了
    }
}